2023, Vol. 60
2. 长江保护与绿色发展研究院(河海大学), 南京 210024;
3. 数学与理论部(鹏城实验室), 深圳 518055;
4. 浙江省农业资源与环境重点实验室(浙江大学), 杭州 310058
2. Yangtze Institute for Conservation and Development, Hohai University, Nanjing 210024, China;
3. Department of Mathematics and Theory, Peng Cheng Laboratory, Shenzhen 518055, China;
4. Zhejiang Provincial Key Laboratory of Agricultural Resources and Environment, Zhejiang University, Hangzhou 310058, China
土壤水力参数(如土壤水分特征曲线和土壤导水率[1-2])的测定对于土壤和地下水等研究领域均具有重要意义。比如，土壤-植物-大气连续体水热动态模拟[3-4]、土壤水盐优化调控[5-6]、场地土壤和地下水风险评估[7-8]等。获取土壤水力参数的传统方法是通过直接测定。该方法成本高、耗时长，而且还会破坏土壤的天然结构。另一方面，由于土壤在空间上具有非均质性，少量监测点上获得的结果也不一定能代表整个区域土壤的性质[9]。随着物联网技术的发展，通过信息传感和实时监控手段，能够实现对土壤数据(如含水量和水头)的自动采集。如何充分融合这些观测数据信息，反演出土壤水力参数是当前的一个研究热点。
数据同化方法通过将观测数据信息与基于物理机制的模型预测结果相融合，从而实现对模型参数的反演估计。近些年来，利用数据同化方法反演土壤水力参数的研究在国内外有了一定的发展。本文旨在总结和分析这些研究进展，为土壤水力参数的获取提供参考，这对于农业水土资源管理以及污染防控具有重要的理论指导意义和实际价值。
1 土壤水力参数的不确定性土壤非均质性是指在成土过程中受沉积环境、成岩作用和地质构造等因素的影响，在空间分布及内部属性上均存在不均匀的变化，是造成土壤水力参数不确定性的主要原因[10]。一般而言，自然土壤特性在水平和垂直方向上均存在非均质性，按照变异系数(Coefficient of Variation，CV)大小可将土壤性质分为强变异(CV > 100%)、中等变异(10%≤CV≤100%)和弱变异(CV < 10%)三类[11]。例如，饱和导水率、土壤水扩散率等属于强变异参数，土壤颗粒(包括砂粒、粉粒和黏粒)含量属于中等变异，而土壤容重和饱和含水量则属于弱变异参数[12]。基于大量土壤样品测定结果，Carsel和Parrish[13]计算出了12种典型质地土壤水力参数的统计性质。雷志栋等[14]研究发现，不同质地土壤的水力参数有很大差异，试验地块测得的土壤饱和导水率，波动幅度可达3个数量级；即使是相同质地的土壤，不同空间位置上的土壤水力参数也可能存在较大差异。此外，参数的变异强度还会随着研究尺度的变化而发生改变[15-16]。
土壤非均质性刻画一直以来均是研究的热点问题[17-18]。由于测量技术与成本的限制，不可能对空间各点上的土壤水力参数均进行测定。对于大尺度区域而言，通常所能获得的观测数据十分有限，并且在空间上呈现出不连续的特点。在未布设监测点的区域，一般以已有的观测数据为基础，通过空间插值获得土壤水力参数，但该方法会对土壤非均质性的刻画带来不确定性。如何准确、全面地获取空间非均质的土壤水力参数是当前面临的一个挑战。
2 土壤水力参数的测定及反演当前，直接测定土壤水力参数的方法主要分为实验室方法和田间方法[19]，大多需要施加严格的初始和边界条件，以便能用解析或半解析方法来确定。由于需要满足模型参数显式计算的条件，直接测定法的实验分析过程往往较为耗时。举例而言，在某些问题中，对于不同的边界条件，需要反复实现稳态或水力平衡状态。并且，可能还需要对控制方程进行线性化或近似处理，以便进行(半)解析求解。另外一种限制是要求施加相对简单的初始和边界条件，这对于需要精确控制边界条件的田间实验而言尤为困难。此外，由于尺度效应的存在，直接测定法在处理土壤非均质性方面也受到很大限制[20]。
随着物联网技术和数值计算方法的发展，对原位获取的观测数据进行同化，进而识别土壤水力参数的研究得以广泛开展。为准确估计土壤水力参数，可以对与土壤水分运动有关的状态量(如含水量和水头)进行监测，然后将获得的观测数据信息融入到土壤非饱和流模型中，通过不断地更新参数和状态使得模型预测值与观测数据相匹配，这一过程称为数据同化(Data assimilation)[21-22]。如图 1所示，数据同化过程主要由数值模型、观测数据和同化方法构成。其中，同化方法起着连接观测数据与模型预测值的关键作用，是数据同化的核心。接下来，本文将着重介绍近些年来有关数据同化方法方面取得的研究进展。
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图 1 数据同化流程 Fig. 1 Procedures of data assimilation |
数据同化方法是一系列算法的统称，其基本思想是通过将观测数据信息融入到基于物理机制的系统模型，以实现对模型参数的反演估计。一种常用的经典方法是优化算法，通过最小化模型预测值与观测数据之间的代价函数，寻求模型参数的估计值[23]。其中，以美国盐土实验室开发的RETC软件[24]为代表。然而，土壤和地下水领域的大多数参数反演问题均是不适定的，存在解的非唯一性。这表明，模型参数的不确定性不能被彻底消除，而通常只能通过融入观测数据信息来降低。在这种情况下，优化算法提供的单一解无法准确量化参数内在的不确定性，并且给出的结果也可能是局部而非全局最优[25]。相较而言，随机方法倾向于将所有可能的解均保留下来，利用概率分布评估参数的不确定性。
近些年来，利用数据同化方法反演土壤水力参数(如土壤水分特征曲线和土壤导水率)的研究逐渐引起重视，其原理是通过将含水量、水头等数据信息融入系统模型以反推土壤水力参数。数值模型是模拟土壤中水、热和溶质运移的有力工具，在水土资源管理、污染风险评估等方面具有广泛的应用。经过几十年的发展，目前已经建立了多种土壤非饱和流数值模型，代表性的有HYDRUS[26]、FEFLOW[27]、FEHM[28]等，能够用于求解控制非饱和流动过程的偏微分方程。为便于说明，本文将土壤非饱和流模型简化成以下形式：
| $\boldsymbol{d}=G(\boldsymbol{m})+\boldsymbol{\varepsilon} $ | (1) |
式中，G(·)表示系统模型；ε为系统误差；m为待定的模型参数(如土壤水分特征曲线和土壤导水率)；d为模型预测值(如土壤含水量、水头等)。土壤水分特征曲线定义了水头与土壤含水量之间的函数关系，它和土壤导水率共同决定了水分和溶质的运移速度，其可靠性直接影响着模型的预测结果。由于模型结构和参数等存在着不确定性，使得模型预测值也带有不确定性，并且与观测数据之间存在着差异。模型结构的不确定性主要是由于边界条件和源汇项的可变性，以及对初始和边界条件等缺乏了解造成的，而模型参数的不确定性主要源于土壤非均质性。数据同化方法利用观测数据d*对模型预测值进行不断校准，估计未知模型参数m，从而降低其不确定性。目前应用较为广泛的数据同化方法包括马尔可夫链蒙特卡罗(Markov Chain Monte Carlo，MCMC)、集合卡尔曼滤波(Ensemble Kalman Filter，EnKF)及其变体[29-31]。以下，对这两类常用数据同化方法的基础理论及其在土壤水力参数反演方面的应用做一个简单的介绍。
3.1 马尔科夫链蒙特卡罗MCMC是一种基于贝叶斯原理的随机方法，通过生成满足模型参数后验概率分布的样本表征其不确定性。根据贝叶斯原理，后验分布可以由预先指定的先验分布和似然函数进行计算：
| $ P\left(\mathbf{m} \mid \boldsymbol{d}^*\right) \propto P(\mathbf{m}) P\left(\boldsymbol{d}^* \mid \mathbf{m}\right) $ | (2) |
式中，P(m)为参数的先验分布，代表获得观测数据之前对参数的初始认识，可通过查阅文献资料和地质调查等途径获得。Freeze[32]通过统计分析发现，土壤饱和导水率可以用对数正态分布来描述，而孔隙度参数则服从于正态分布。对于统计信息不明的参数，可假定其服从于均匀分布；P(d* | m)称为似然函数，表示参数取m时观测数据d*的分布函数，用于度量模型输出G(m)与观测数据d*之间的匹配程度；P(m|d*)为参数的后验分布，反映了融合观测数据信息后对参数产生新的认识，是贝叶斯反演的核心目标。MCMC通过构造合适的马尔科夫链进行参数抽样，在链条运行足够长的时间后收敛到平稳分布，即为后验分布。有关参数后验的统计性质，可以通过分析这些样本得到。MCMC也可以采用多条链并行，以提高探索参数后验区间的能力，代表性的算法有DREAM[33]。
在土壤参数反演方面，已有不少关于MCMC的相关研究[34-37]。例如：柯凤乔等[38]基于MCMC和一维分层土柱实验反演土壤水力参数；石晓蕾等[39]应用MCMC推求土壤水力参数，并量化其不确定性；Steenpass等[40]利用MCMC融合土壤表面温度和含水量数据信息，实现了对土壤水力参数的反演估计；Younes等[41]研究了不同类型观测数据和溶质注入时间对土壤水力参数反演的影响。MCMC通常需要大量的模型调用才能达到收敛，而且所需模型调用次数随着参数个数的增加而显著上升，对于高维问题这将造成巨大的计算量。
3.2 集合卡尔曼滤波在EnKF中，模型参数和状态的不确定性是通过集合样本来表示和传递的，最早由Evensen[42-43]提出。在这里，本文将模型参数m(即土壤水力参数)和状态s(即土壤含水量或水头)组合成一个联合状态向量x=[m s]T，包含N个样本的集合可以表示成X=[x1, x2, …, xN]。EnKF包含预测和更新两个步骤，通常以递归的方式对观测数据进行实时同化。在预测步骤，t时刻的状态可以通过上一时刻的状态进行预测，
| $ \boldsymbol{x}_{t, i}^{\mathrm{f}}=G\left(\boldsymbol{x}_{t-1, i}^{\mathrm{a}}\right), \quad i=1,2, \ldots, N$ | (3) |
式中，f和a分别表示预测和更新。在获得当前时刻观测数据
| $ \boldsymbol{x}_{t, i}^{\mathrm{a}}=\boldsymbol{x}_{t, i}^{\mathrm{f}}+\boldsymbol{K}\left(\boldsymbol{d}_t^*-\boldsymbol{H} \boldsymbol{x}_{t, i}^{\mathrm{f}}\right)$ | (4) |
式中，H为观测算子，将状态向量
对于多孔介质中水分运动问题，自Geir等[44]的工作开始，研究者采用EnKF同时估计水头和渗透系数。随后，Hendricks和Kinzelbach[45]利用EnKF反演空间非均质的渗透系数，Li和Ren[46]则通过同化水头数据估计出12种不同质地土壤的水力参数。需要注意的是，当参数分布非高斯或系统模型呈现强非线性时，EnKF的反演效果有时欠佳[47]。作为EnKF的一种变体，集合平滑器(Ensemble Smoother，ES)一次性融合所有观测数据信息，可采用迭代的方式进行更新[48]。Li等[49]比较了EnKF和迭代ES方法在土壤水力参数反演方面的效果，认为迭代ES效果要优于EnKF。
4 计算效率和反演精度提升虽然MCMC、EnKF及其变体在土壤水力参数反演方面得到了较为广泛的应用，但各自也存在着不足，即：MCMC不适用于高维问题，EnKF及其变体受到高斯假设的约束。由于土壤具有非均质性，导致未知参数过多，并且土壤非饱和流模型呈现较强的非线性，而原位观测数据又相对稀缺，需要发展更加高效的数据同化方法。其中，4.1节从不确定性量化的角度提升计算效率，4.2节和4.3节分别从考虑模型结构误差和优化试验设计方面提升反演精度，4.4节则是将近年迅猛发展的机器学习方法融入数据同化的框架，部分前沿进展总结如表 1所示。
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表 1 数据同化方法部分前沿进展 Table 1 Advances in data assimilation methods |
为了提高计算效率，可以在同化过程中使用低保真度模型。与系统模型相比，低保真度模型的模拟精度较低，但所需计算时间相对较短。一般而言，低保真度模型包括：(1)具有较低求解精度的数值模型；(2)系统模型在其低维子空间上的投影；(3)基于插值或拟合得到的替代模型等[50-51]。Zeng等[52]利用多项式混沌展开构造替代模型，联合EnKF提出一种高效的数据同化方法，并将之用于多相流的反演模拟。Man等[53]进一步改进该方法，并将其应用于土壤非饱和水流的数据同化问题。多保真度模拟在近年来逐渐引起重视，它的核心思想是使用一种或多种低保真度模型来近似系统模型[54-55]。由于多保真度模拟可以兼顾效率和精度，常被用于量化模拟过程的不确定性[56-57]，以及提高数据同化的计算效率[58-59]。此外，降维方法(如Karhunen-Loève展开[60]和分段逆回归法[61])也可以通过减少未知参数个数，提升反演效率。
4.2 模型结构误差在同化过程中，除了需要量化参数不确定性外，有时还需要考虑模型结构的不确定性。Erdal等[62]研究表明，当土壤非饱和流模型存在较大结构误差时，传统的EnKF无法得到合理的预测结果，故而提出同时更新模型参数、状态和结构误差。此外，Xu等[63]采用高斯过程对模型结构误差进行拟合，并用MCMC来同时反演未知模型参数和超参数(即与模型结构误差相关的参数)，以获得更加准确的预测结果。当存在多个模型时，研究者还可以采用贝叶斯模型平均量化模型结构的不确定性[64]，即随着同化过程的进行对不同模型的权重分别进行更新。Wöhling等[65]研究表明，在模型不确定性分析中采用贝叶斯模型平均较采用单一模型往往更加有效。
4.3 优化试验设计一般而言，不同空间位置和时间上所采集的数据在参数反演中的效用(即信息含量)是不等的[66]。在一定预算条件下，通常只能获得有限的观测数据。理论上，通过试验设计找到最优的监测方案，从而获得信息含量最高的观测数据，有助于提高参数反演的精度[67]。在贝叶斯框架下，Lindley[68]为优化试验设计提供了统一的框架，即定义一个反映试验设计目标的效用函数，然后通过最大化效用函数的期望值确定最优设计方案。
优化试验设计方法大致分为两类：全局设计(批量设计)和序贯设计。全局设计，是在所有空间位置或时间上进行设计，只设计一次。在全局设计方面，Herrera和Pinder[69]利用卡尔曼滤波对地下水监测网进行时空上的优化。Kollat等[70]使用EnKF和多目标优化算法提高地下水的长期监测。Zhang等[71]提出了一种高效的贝叶斯试验设计方法，并应用于地下水污染源识别。Man等[72]则通过分析土壤温度和含水量的数据价值找到最优监测方案，从而提高土壤水力参数的反演精度。当观测数据只能实时获取时，全局设计便不容易实施。不同于全局设计，序贯设计是在上一次反馈结果的基础上进行的，涉及多次设计。Prakash和Datta[73]在监测网中采用模拟退火优化算法进行序贯优化设计，实现对污染源的精确描述。为提高污染物的预测精度，Gharamti等[74]提出了一种贪婪试验设计方法来优化选择监测井，该方法是通过在给定时间内最大化预期信息增益实现的。Man等[75-76]则通过开发基于集合样本和概率配点的序贯优化设计方法，进一步提高土壤水力参数反演的精度。Geiges等[77]比较了非线性参数估计问题的序贯设计和全局设计，研究结果表明序贯优化的效果要优于全局优化。后续研究者可以根据数据的可获取性以及获取方式，结合研究需求自主选择优化设计方法。
4.4 机器学习应用机器学习是一种数据驱动型的建模方法，能够通过分析数据发掘其隐含规律，并据此对未知状态进行预测。在过去的十年中，机器学习方法，特别是深度学习，已经被广泛地用于解决土壤与地下水等领域的难题[78-79]。比如，Araya和Ghezzehei[80]利用机器学习预测土壤饱和导水率及其对土壤结构扰动的敏感性；Man等[81]应用深度学习解析污染场地重金属的空间分布特征；Padmanabha和Zabaras[82]构建了一种条件可逆神经网络，利用少量观测数据反演对数渗透系数场。除此之外，机器学习还被用于校正物理模型的结构误差[83-84]。机器学习的成功在于它能够自动提取复杂特征，并有效地从训练数据中发掘隐含信息[85]。
近年来，很多学者倾向于将机器学习嵌入到数据同化的框架中。比如，Mo等[86]开发了一种基于深度学习的数据同化方法，反演非高斯分布的渗透系数场；Zhang等[87]利用深度学习建立起了观测数据与模型参数之间的非线性映射关系，用于刻画非高斯分布的地下介质特征。除了直接估计高维的非高斯参数场，也有学者利用深度学习对其进行非线性降维，然后使用数据同化方法估计降维后的特征参数。比如，Laloy等[88]利用生成对抗网络对非高斯场进行降维，然后利用MCMC对降维后的随机空间进行识别。作为一种数据驱动的方法，机器学习模型的预测精度非常依赖于数据的数量和质量，并且在训练数据未覆盖到的区域可能存在预测可靠性不足的问题。因此，纯数据驱动的模型在实际应用当中，很有可能得到没有物理意义的预测结果。为此，Raissi等[89]创造性地提出了内嵌物理机制的神经网络(Physics-Informed Neural Networks，PINNs)，该方法通过自动微分技术将物理方程以正则项的形式加入神经网络的损失函数中，使得神经网络不仅能吸收来自数据的信息，还能融合来自具有全局约束的方程的信息，进而提升模型的预测鲁棒性。PINNs的出现促进了科学机器学习领域的发展，也催生了一些PINNs在土壤水文模型数据同化方面的应用研究，比如：Tartakovsky等[90]将PINNs用于非均质渗透系数场的估计，并能准确估计非饱和场景下的渗透系数与水头间的本构关系；Zheng等[91]受PINNs启发，构建了内嵌物理机制的图像修复框架，能基于少量点位观测同时估计高维参数和状态场；Wang等[92-93]指出工程控制条件、专家经验等亦可作为正则约束来提升模型的预测能力，在PINNs的基础上进一步提出理论指导的神经网络，将其应用于渗透系数场的高效和精准估计。虽然科学机器学习的发展方兴未艾，但它在土壤水力参数反演中的应用还相对较少，尤其是结合实际场地数据的研究更是稀少。
5 结论与展望针对土壤的非均质性、土壤非饱和流模型的强非线性以及原位观测数据的相对稀缺性，前人发展了不同的数据同化方法用于土壤水力参数反演。然而，这些数据同化方法的应用大多停留在数值实验的层面，在实际田间乃至区域尺度上的适用性还有待验证。考虑到实际应用中土壤的非均质特性更加复杂，综合上述研究进展，本文认为未来可以考虑从发展监督式降维方法、多源多尺度数据融合以及耦合物理机制的机器学习等方面进一步深化土壤水力参数反演方法研究：
(1) 发展监督式降维方法。传统的降维方法如主成分分析，通常是基于预先设定的参数统计性质来实现的，忽略了系统模型内在的动力学特征，属于无监督的降维方法。监督式降维方法则通过考虑各个参数对系统模型输出的敏感性，挖掘高维参数与模型输出之间的隐含关系，从而提高降维效率。活跃子空间[94]是当前较为热门的监督式降维方法，利用模型输出关于各个参数的梯度信息进行降维。Yan等[95]通过将该方法与高斯过程回归相结合，自适应构造出地下水系统模型的替代模型。在土壤水力参数反演问题中，对参数进行监督式降维，或能用于解决实际应用中土壤空间非均质性带来的大量未知参数问题，从而有助于提高数据同化方法的计算效率。
(2) 多源多尺度观测数据信息的融合。当前大多数研究采用的是点位上的观测数据，精度较高但数量少。而区域尺度上的遥感数据虽然精度不高、测量深度也较浅，但数据量大且覆盖范围广。多尺度观测数据可能包含不同时空水平的地表-地下水文系统的有用信息，需要发展能够同化多尺度数据并获取其价值的方法。Montzka等[96]指出，多尺度数据同化可以通过两种方式进行：使用观测算子，或者在同化之前将观测数据重新调整到模型尺度。Zhu等[97]利用多尺度土壤含水量数据对分布式地下水流模型进行同化和分析。尽管已经存在用于同化多尺度数据的方法，但在土壤水力参数反演方面的应用十分有限。一个重要的原因是观测尺度与模拟尺度不匹配，并且不同尺度土壤水分具有时空变异性。在多尺度数据同化问题中，应根据实际情况综合选择信息融合方法。另一方面，各种测量技术(如近地传感器和探地雷达等)的出现也为融合不同来源数据信息提供了可能性。例如，姚荣江等[98]将土壤表观电导率数据融入水盐运移模型，用于提高土壤盐分的模拟精度。因此，发展有效的数据同化方法融合多源多尺度数据信息能够为土壤水力参数反演提供新思路。
(3) 机器学习与物理机制的融合。对于复杂的实际问题，现有物理模型也许不足以充分概化其过程机制，导致基于物理模型的数据同化结果存在系统偏差。基于数据驱动的机器学习通过从数据中直接学习规律，有助于摆脱对物理模型的依赖。为了使机器学习能适应观测数据较为稀少的场景，同时增加模型预测的鲁棒性，需要将物理模型机制与机器学习方法进行有机整合，使得观测数据和物理机制信息均能得到充分利用。发展内嵌物理机制的机器学习模型用于数据同化，是突破传统数据同化方法局限性的一大机会，未来需要在复杂的实际问题中继续检验和完善这一方法框架。
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